Подскажите, пожалуйста, если у меня есть внж Сербии, но я меняю место жительства - должен ли текущий лендлорд сделать мне новый белый картон по новому адресу?

Не БК, а смена адреса ВНЖ. По закону нужно оформить смену в течении 3 дней

Вы сами должны в течение 3х дней после переезда написать на почту мупа и сообщить о смене адреса. Они вам назначат дату, когда прийти и принести документы и оплатить ГП. От нового лендлорда нужны документы на квартиру и согласие. БК при наличии ВНЖ делать не надо