Если получили отказ в визе Венгрии, ставится ли в паспорте или только в системе? И нужно подавать апелляцию или заново можно податься просто?

В паспорте ничего не будет. В отдельном формальном письме придет отказ. Будет внесен в систему VIS - и доступен всем шенгенским странам в течение 5 лет, по-моему.

Апелляция у венгров стоит 160 евро. Если деньги есть, то надо, конечно, бороться