Подскажите, пожалуйста, если ребёнку 15 лет (=есть паспорт), едет в Абхазию из РФ с одним родителем, не вписан в паспорт родителя, нужен ли штамп о гражданстве на свидетельстве о рождении?

Нет. После 14 не нужен. Паспорт подтверждает гражданство, свидетельство (без печати) — ваше родство

Просто проходит по своему паспорту.

Нет. У него уже свой паспорт гражданина РФ. Свидетельство могут попросить для подтверждения родства и на нем уже штамп не обязателен

Паспорт подтверждает гражданство РФ.

Свидетельство нужно, пока он несовершеннолетний, подтвердить ваше родство. Не каждый раз, но спрашивают печать уже не нужна