Возможно ли купить автомобиль себе в собственность и на нем передвигаться в Сербии?

только при наличии ВНЖ

возможно.

зарегестрировать на себя только с внж

К вышеуказанному еще добавлю, что действие ВУ РФ длится 1 год со дня получения боравка (потом надо поменять его на сербское). Из этого правила есть исключения (если, например, боравак краткосрочный)...