Можно ли заменить просроченные российские права на монгольские? Сложно ли вообще получить монгольские права и что для этого нужно?

Менять вам никто не будет, другая юрисдикция.

"Вы должны лично подать заявление на получение водительского удостоверения в Лицензионный центр Главного полицейского управления Монголии . Необходимы следующие документы: заграничный паспорт, временная карта проживания и ее нотариально заверенная копия."

Я думаю, на временной карте ваша идея и завершится...