Планирую путешествие с питомцем. Подскажите пожалуйста, для получения справки ф1 нужно обращаться в сббж по месту регистрации или можно приехать в любое?

Вообще, по месту регистрации. Но если не очень въедливые, то могут выписать и в другой. Просто назовёте адрес проживания из этого района.

Владелец может быть зарегистрирован, например, в Краснодаре, а жить совсем в другом конце страны, например, во Владивостоке. Что ж теперь, туда лететь надо за справкой Ф1?