Лечу в Новую Зеландию , налички 1000 долларов Американских. Покупал в России, но квитанции не взял.

С сайта таможни Новой Зеландии:

Border Cash Report

You are required to complete a Border Cash Report if you carry NZ$10,000 or more cash (or foreign equivalent) into or out of New Zealand.

Соответственно, заполняете декларацию. Доказывать происхождение средств, насколько я понимаю, никто не требует. Если не заполните и поймают - обещают разные кары в диапазоне от изъятия денег до тюрьмы