Переехали на ПМЖ в Калининград. Вчера ходили в детский сад - там сказали обращаться в МФЦ.

Прописывать или частный детский сад

Может и берут, когда детей мало, садов много. Но эта история не про Калининград.

По месту жительства должны взять если есть свободные места, место жительство детей нужно подтвердить каким-то документом (то есть это договор найма например или делать временную прописку). Вы ведь все равно, где-то живете или у кого-то.