Подскажите, пожалуйста, можно ли гражданам Казахстана вылетать в Россию из Бишкека по удостоверению? Или нужно паспорт иметь с собой?

Передвижение в странах ЕАЭС,по внутренним документам разрешенно.

Да.

В аэропортах - международный пункт пропуска.

Уточняйте в авиакомпании. Скорее всего потребуется загран, так как летите не из страны гражданства