Едем в Крым из Новороссийска на автомобиле. Забыли паспорта. Не страшно?

Нет не проверят. Но порой выборочно могут проверить.

На госуслугах должны будете показать в этом случае

Не было такого, чтобы на мосту проверили паспорта (в год минимум 4 раза езжу)