Можно ли договориться с арендодателем, чтобы он оплачивал коммунальные услуги, или в Батуми это всегда обязанность арендатора?

Конечно можно. Но, либо Вы ему будете их компенсировать по счетам, или он просто с запасом включит их в стоимость аренды

Можно, просто скорее всего он заложит какую-то сумму заранее в аренду.

Лучше платите сами, поверьте