Подскажите пожалуйста есть ли в Тбилиси консульство, в котором русские граждане могут подать документы на визу?

В Тбилиси три десятка консульств.

Но шенгенские страны не примут документы у туриста.

Нужно иметь ВНЖ или какой либо ещё не туристический статус в стране подачи.

Визовые страны, не выходящие в Шенген, сами определяют порядок подачи заявления на визу. Ищите на сайте конкретного консульства подробности.