Подскажите, пожалуйста, если не пустили на границе в Батуми, дали бумагу, что без страховки и неплатежеспособный. Каковы шансы, что через аэропорт пустят? Кто-нибудь сталкивался, что спрашивают страховку и финансирование на таможне?

Да, сотрудник пограничной службы имеет право спросить у вас наличие средств и страхование здоровья, и при отсутствии их - отказать в прохождении границы. И страховка и наличие денег является обязательными условиями, хотя зачастую сотрудники границы об этом не спрашивают, конечно.

Шансы что вас пустят вполне себе большие - и по земле и в аэропорту. Сотрудник увидит ваш прошлый отказ в системе и, я думаю, снова спросит то же самое. Возьмите с собой наличные деньги и/или деньги на иностранных картах и медицинскую туристическую страховку, желательно еще бронь жилья и обратные билеты