Скажите, пожалуйста, а в Баку при транзитной пересадке с рейса на рейс багаж досматривают, таможню проходят? С птицей лечу, вытаскивать ее из клетки не охота.

У нас багаж досматривали, и таможню мы проходили

Если пересадка с рейсами разных авиакомпаний, то, естественно, вы багаж получите только после прохождения границы. Соответственно, по получении багажа, опять ее нужно проходить со всеми сопутствующими процедурами. Если летите одной авиакомпанией, то ваш багаж просто перегрузят из самолета в самолет. А вы спокойно пройдете в транзитную зону, не пересекая границу.