Подскажите, пожалуйста, можно ли заказать в Яндексе такси сразу до аэропорта Шымкента? Смогут так довезти из Узбекистана, из Ташкента?

Из Ташкента, нет)) Это же в другую страну))

До границы можно потом пересадка

можно до границы Ташкента на яндекс, потом пешком пройти границу, и потом за сумы/тенге доехать до аэропорта на попутке