Если я напишу доверенность на кого-нибудь из родителей, они могут прийти в любой банк в Казахстане и открыть карту для меня?

Да, но не каждый банк может открыть по доверенности. Самостоятельно можете попробовать открыть виртуальную карту в приложении Цифра банк

Желательно, чтобы представитель имел гражданство РФ и проживал в РФ.

Доверенность должна быть нотариальная.

Копию паспорта, возможно, понадобится заверить у нотариуса.