Возможно ли на общественном транспорте или на шаттлах доехать до аэропорта бодрума утром?

Легко. Мы в последний раз в 3 ночи доезжали.

Автобус идёт от городского вокзала (оттагар). Расписания у них нет. Но автобусы привязаны к пролётами отлетам самолётов.

я бы рекомендовал с запасом по времени приходить.