Я гражданин Казахстана и сейчас нахожусь в России, точнее в Казани. Могу ли я официально устроиться в государственную IT-компанию? Если да, то какие документы мне понадобятся для этого?

официально и надо, иначе не сможете находиться дольше 90 дней. и целью въезда должна была быть работа. а документы такие (помимо миграционной карты и паспорта/удостоверения личности): временная регистрация по месту жительства, дактокарта, прохождение медицины, СНИЛС, ИНН, ОМС/ДМС, сведение о трудовой деятельности. больше ничего не надо. до истечения срока пребывания тут нужно продлить срок на основании трудового договора. работодатель должен подать уведомление в МВД о принятии вас на работу в течение 2х дней вживую, электронно или по почте. но нужно учитывать, что не все крупные компании имеют право трудоустраивать иностранцев