Если я заезжаю в Индию по старой визе, у которой скоро закончится срок, то могу я потом покинуть страну по новой визе, которую надеюсь там оформить?

Вы не можете оформить визу, находясь в стране.

Виза не на срок пребывания, а на въезд, вы сможете по ней въехать в страну и пробыть в ней 90 дней не покидая, затем визаран и обратно на 90 дней, если за первые 3 месяца срок вашей визы истечёт, то при визаране-например будучи в Непале, вы сделаете себе новую визу и заедете с ней ещё на 90 дней, т.к. прибывание в Индии в год не более 180 дней..