Подскажите пожалуйста, кто ездил из Белграда в Черногорию на автобусе, как обстоят дела с прохождением границы? С кем договариваться, с водителем?

По опыту пересечения других границ на автобусе или авто. Пассажиры всегда проходят пешком КПП и в автобусе/авто останется только водитель, он потом забирает пассажиров на другой стороне. Серб или Рус, В любом случае будет паспортный контроль. Кому-то со штампами, кому-то без.

Поправьте меня если не так именно на этой границе

Пару раз ездил, и опыт такой. Скорее всего, выходить никто не будет, сербские пограничники сами заходят в автобус. И если протянуть ему паспорт, он его заберет и поставит штамп. Если просто сидеть и смотреть - никто ничего не поставит. По сути, это некий фейс-контроль: пограничник проходит по автобусу и выходит через вторую дверь. Если нужен штамп, лучше заранее предупредить водителя, потому что может так случиться, что вообще никто не зайдет (но это скорее черногорцы так делают)