Подскажите, кто знает, где освятить крестик можно в Тбилиси? Православный.

Практически в любой церкви.

В самой старой, что возле башни с часами, практически целый день священство дежурит

В Грузии христианство - православие. Так что в любой церкви можно это сделать. Если вы, конечно, не забредете ошибочно в армянскую церковь или в какой-то католический храм :) Которые тоже тут встречаются....