Принимает ли МФЦ в Москве нотариально заверенный перевод на русский язык свид о рождении новорожденного +апостиль сделанный в Грузии?

Тут сотрудник МФЦ ни при чем . Перевод должен быть сделан у российского нотариуса, либо в нотариате консульства России. Это в любой стране, в Грузии у вас то же не примут перевод из России, только местный

Грузия, как и РФ, является участником Минской и Гаагской конвенции от октября 1961 года, отменяющей требование легализации иностранных официальных документов.

То есть по закону вполне достаточно любого заверенного перевода, неважно, где он сделан. Но на практике могут от безграмотности потребовать апостиль. Ну сделать не так дорого.

Мой опыт вам, надеюсь, не пригодится, я сознательно доводил дело (имущественное) до суда. Выиграл его с треском

В рф госорганы признают только перевод заверенный российским нотариусом и важно не подшивать перевод к оригиналу свидетельства о рождении, так изредка предлагают сделать, но это порча документа, только копию подшивать