Есть ли в Тбилиси где то травмпункт ? Куда можно подъехать обработать рану ?

Травмпунктов в российском понимании в Грузии нет. Надо либо ехать в больницу (примут за деньги, если вы не делали страховку), либо выбрать частную клинику. Смотрите по Гуглу, что ближе к вам.