Подскажите, пожалуйста, если после Японии я собираюсь в Корею, то нужно указывать, что после Кореи я еду в Россию? Или конечный пункт Корея и на этом все?

Ничего не надо. У меня прилет из России в Японию, а из Японии в Корею, в программе просто написал что улетаю таким-то рейсом такого-то числа. Они по билету всё равно увидят, куда летите. На всякий случай даже приложил билет из Кореи в Россию, чтобы показать, что у меня всё тип-топ и путешествие закольцовано, но им все равно, билет вернули.