Подскажите, верно ли я понимаю, что для россиян нужно регистрироваться в Ташкенте в течении 15 дней? И если я меняю город, то отсчёт начинает идти заново. Но чеки на проезд лучше сохранить?

15 дней от пересечения границы..

если планируете задержаться в Узбекистане дольше 15 дней, по приезду надо зарегистрироваться по месту пребывания.

Если путешественник переехал в другой регион Узбекистана, ему придется заново зарегистрироваться. Исключение — если он пробудет в другом городе или поселке меньше трех суток. В этом случае посольство России в Узбекистане рекомендует сохранить документы о покупке товаров и услуг, которые подтвердят краткосрочную поездку. Вероятно, подойдут чеки из гостиниц или магазинов.