Хочу спросить совета, как правильнее поступить.

Дело в том, что если хозяин не хочет, значит он не имеет право сдавать жилье, он купил его с льготным НДС. Вряд ли есть смысл настаивать. Переведёте домашний интернет на свое имя, этого хватит

Счета на имя арендатора важны. От слова очень. Электричество переписывается за 10 минут при наличии договора на аренду

Что-то одно точно лучше перевести. Тут такие счета, как доказательство реального проживания. Счет за интернет увы, принимают не все.

Хотя бы воду или свет, что то одно, но лучше для вашего же спокойствия перевести . Это не долго . Никакой бюрократии. Просто залог надо внести.

Счёт за электричество должны переписать на себя, так как это считай ваш документ прописки