Подавались на шенген в Армении. Подскажите, а можно ли как-то забрать паспорт за другого человека?

Да, нужно принести его чек.

потенциально могут попросить доверенность, но я забирала вот 27.09 просто по чеку без доверенности.

Да, по нотариальной доверенности.