Подскажите, а можно открыть итальянский Шенген с билетами до Ниццы и приложить подтверждение, что дальше едешь на поезде или на машине в Италию?

Можно

Перемещение по шенгену вообще не нужно. Нужно, чтобы у вас в бронях жилья было больше ночей в Италии.

Подавали документы в ЕКБ, вылет обратно из Будапешта, у нас запросили маршрутный лист со всеми перемещениями по Шенгену и даже начиная с перемещений от третьей страны.