Не будет ли никаких проблем, если кимлик в Турции закончится до даты рандеву?

Проблем не будет

Во-первых, не кимлик (это паспорт гражданина Турции), а икамет. Если вы оформили анкету и взяли дату рандеву до окончания икамета, то проблем не будет. Если у вас икамет закончился, но вы не собрали бумаги и взяли рандеву, то проблема будет - уезжаете домой со штрафом.