Подскажите, пожалуйста, на каком языке преимущественно разговаривают в Батуми в кафе/магазинах/банках?

На испанском) На грузинском, конечно.

в банках начните с англ, спросите, говорит ли сотрудник по-русски, в кафе лучше тоже, в магазинах, если взрослые сотрудники, то русский поймут, с молодёжью лучше начинать по англ

В Батуми в сфере обслуживания русским владеют примерно все. Английским - процентов 30, в туристических местах побольше.

Исключение - банк ТБС, где обычно требуют англ, а также Юстиция, где для совершения официальных действий понадобится переводчик.