Виза в Болгарию однократная, на 30 дней. После въезда в Болгарию хочу посетить Будапешт на самолёте. Потом возвращение в Болгарию. Не будет пограничных проблем? Или при посадке в самолёт?

Не будет. У внучки однократная болгарская шенгенская в этом году. Уже три раза съездили ( наземно, с проверкой документов) в Грецию и обратно. На болгарской границе предупреждают( спрашивают) - знаем ли , что виза однократная( ну, типа, чтобы знали, что если покинем шенгенское пространство, то больше в Болгарию и др Шенген. страны по ней не въедем) Греки вообще без вопросов. На самолете ещё проще должно быть- без паспортного контроля.

У вас не будет как такого паспортного контроля, мы летели Будапешт - Бургас

Авиакомпания проверяет визу тщательно. На регистрации и при посадке.

Но, в целом, если я правильно понимаю правила Шенгена, не должно быть проблем.