В старом городе в Батуми аренда обычно дороже? что с отоплением, интернетом и отключениями света там?

да, если долгосрочная на сотку дороже, если старый город имеется ввиду то, что ~ до грибоедова.

а если самый центральный квартал - без понятия.

там долгосрочно или цена космос или не очень комфортно.