Подскажите ходят ли маршрутки из Батуми в Трабзон, чтобы на 1 день съездить?

Нет смысла. Своим ходом до Сарпи - и с той стороны маршрутки в трабзон.

На один день не получится, потому что автобус идёт в лучшем случае часа 4. На такси три часа.

В Трабзон нужно на три дня минимум.