Вопрос. Если я из России пригоню свой роутер (2 года назад покупала), то он будет работать в Сербии?

Это прибор который принимает и передает сигнал по Wi-Fi. Где бы вы не находились, ваш роутер будет работать.

Как точка доступа - точно. Как роутер - зависит от того, как у вашего провайдера последняя миля реализована. В Белграде в большинстве мест GPON оптический и для него в большинстве случаев нужно специализированное оборудование, которое предоставляет провайдер (обычно тоже роутер и тоже с вайфаем, но может быть довольно ограничен в настройках). Оно обычно преднастроено под конкретные требования оборудования, обслуживающего последнюю милю и может быть несовместимо с другими провайдерами.

Будет, если, что ставьте за роутером провайдера, на котором скорее всего есть эзернет порт.