Могу ли я в 15 лет поехать в Сербию и снять квартиру с временной пропиской?

Вас из России не выпустят без сопровождения взрослого

Не можете. Подождите годика 3

Поехать сможете (разрешение от родителей) А дальше что, какие планы?

Можете. Если родители дадут доверенность и найдете "опекуна" в Сербии - совершеннолетнего родственника, друга. До 18 лет это необходимо, так как периодически нужны всякие согласия (учеба, медицина) и т.п. Квартиру снять тоже сможете.