Подскажите, пожалуйста, в Черногории инспектор в МУПе сказала, что после того, как напишем заявление на аннулирование боравка необходимо выехать на следующий день.

Достаточно. На счет следующего дня- вам выдадут решение, в котором написано, в течение какого времени надо выехать. Правда, пограничники действительно считают, что на следующий