Села покупать билет авиакомпании china eastern из России. И поняла, что срок моего паспорта заканчивается через 4 месяца. Оформляю новый.

На посадку идёте по старому паспорту, на который билет покупали, а паспортный контроль там уже по новому — где виза вклеена

это два разных процесса и два разных института, которые между собой не связаны

Авиакомпания может поставить ремарку в билет про новый паспорт. Если попросят за это денег (что крайне маловероятно, если покупали у авиакомпании напрямую и очень вероятно, если у агентов), просто идете на регистрацию с 2 паспортами: старым и новым.