А осаго проверяют на границе с Монголией? Я водитель (в осаго не вписан), собственник машины рядом будет сидеть, так как ему не продлевают (по возрасту), они просто автоматически продлены на 3 года. Впустят в Монголию таких туристов?

Осаго не проверяли. Проверили стс и паспорта. Спросили кто водитель и кто собственник авто. В нашем случае тоже два разных человека, ничего больше не спрашивали.

Тут нужно уточнить, речь идет только про ОСАГО, или все же речь про права, которые не продлили по возрасту, но в России они продлены автоматически на 3 года? Если про ОСАГО, то российская страховка их действительно не интересует. А вот в правах, российское автоматическое продление не прокатит, только то что написано.