Подскажите можно ли проехать за границу и обратно в Монголию по рукописному договору купли-продажи на авто?

В этом случае нет. На границе нужен техпаспорт на авто оформленный на водителя либо пассажира.

Оформите доверенность у нотариуса с правом выезда за границу, от прежнего собственника.