Нужно ли при двойном гражданстве всегда оба паспорта возить или достаточно только того, который требуется для пересечения границы? Например, если в Британию лететь из Финляндии с гражданством РФ и США, то паспорт РФ не надо брать?

Да. Хотя, я страхуюсь и беру все паспорта с собой, главное, не потерять.

По какому документу путешествуете тот и берёте. В третьей стране вы будете гражданином той страны, по паспорту которой въехали. Если не собираетесь в случае чего обращаться за помощью в консульство/посольство РФ, то паспорт с собой не нужен.