Скажите пожалуйста, в Ереване можно оформить паспорт (впервые после получения гражданства) за 1 день? Есть такая услуга?

Есть, но только за 2 дня. И за официальную дополнительную плату. Сегодня оплачиваешь дополнительную пошлину, на следующий день получаешь паспорт.