Подскажите , права закончились в июне, но в России действует автопродление. Пустят ли в Грузию с такими правами?

Нет, нужно оформить заново. У меня тоже истекли

Если вы не за рулём, то да. А если вас остановят во время вождения - штраф за отсутствие прав и машину на штрафстоянку, если некому будет за руль сесть.