Заселился в отель в Сербии, дали бк с check-outом в день выселения, сказали, что не могут сделать с открытой датой, что делать в таком случае?

А зачем вам открытая дата, если вы в отеле живете? Они всегда делают четко под свои даты. Открытый только в полиции с владельцем каартиры.

Что значит с открытой датой? После отеля вы куда-то ведь поселитесь. Там вам снова нужен будет белый картон.

Да ничего не делать. В полицию дату вашего выселения не сообщают. Специально ловить ваше нарушение никто не станет если не увлекаться. Бумажку лучше вообще не предъявлять - меньше вопросов будет.