При прохождении паспортного контроля в Будапеште, проверяют ли бронь гостиниц?

Нет не проверяли

теоретически могут любые документы проверить

прошла паспортный контроль час назад, вместе со мной проходила тоже россиянка, у нее проверили биометрию, у меня ничего не проверили, ничего не спросили, поставили штамп и валяй

Вы напрямую в Венгрию не влетите. А, через Турцию, Ереван,. тд. А там смотрят только паспорт с шенгеном. А внутри шенгена при переезде, перелёте. Даже паспорт не смотрят только билет с регистрацией через инет на телефоне. Неделю назад из Венгрии, Европы.