Подскажите, пожалуйста, а прописаться в съёмной квартире в Казахстане реально? Или там автоматически пропишут, после получения ВнЖ? При получении указывал адрес, где проживаю и показывал договор

Вы уже получили удостоверение ВНЖ?

это вам у владельца жилья надо спрашивать. для кого-то реально и не проблема, кто-то не хочет с этим связываться

автоматически разумеется вас никто просто так не пропишет. Там же есть владелец и только он это решает.