Подскажите, пожалуйста, из аэропорта Кутаиси в город Кутаиси можно ли доехать на каких-нибудь электричках? Или только по дорогам?

Можно на электричке Батуми - Кутаиси, но она ходит по-моему два раза в день.

Когда выходите из зоны вылета, справа на стене табло с расписанием ж/д. Видела полтора года назад.

Можно спросить в справочном окошке. Оно, как и касса, находится справа при выходе.

У них действует бесплатный трансфер с жд, возможно и на жд. Поспрашивайте. На русском говорят.