Пытаюсь податься на шенген в Армении и взять место в визовый центр Италии без очереди (там есть такая платная услуга). Звоню на протяжении часа, телефон вечно занят. Кто-нибудь сталкивался с этим? Они трубки берут?

Насколько мне известно и не дозвонитесь. Там и без очереди тоже очередь, как и везде

Если несколько дней звонить - некоторые дозванивались.

Но платные места есть не всегда. Когда дозвонитесь - ваш номер запишут и может быть в течении 1-2 дней перезвонят и сообщат на когда вас могут записать. Например могут предложить прийти через 2 часа.