При въезде в Сеул или при выезде из Москвы могут ли запросить информацию о втором загран паспорте или вообще спросить о его существовании?

Могут. Мне в Китае весь мозг вынесли с этим вторым паспортом. Сказали в следующий раз вообще не пустят пролететь в Корею через Китай

Если у вас есть старый загран, просроченый, то его лучше взять с собой

Не спрашивают, но советую возмите с собой, пригодится.