Если background verification затягивается и дороговато жить в стране с ВНЖ (Армения), имеет ли смысл возвращаться в страну, где есть гражданство (РФ)? Или Канада опять запросит документы: почему переехали? И проверка документов опять будет долгой?

Откуда IRCC узнает, что вы переехали? Вы можете, конечно, сообщить, но это не критичная информация, на кейс она не влияет. Но даже если сообщите, ничего это не изменит, разве что может, справку о несудимости новую запросят. Другие документы от переезда не меняются.