Подскажите, пожалуйста, какие документы нужны на ребёнка 13 лет для пересечения границы с Казахстаном? И нужно ли согласие от второго родителя?

Ребенок один или с родителями? Если без родителей, то нотариальное согласие от родителей на пересечение границы.

До 14 лет может по свидетельству о рождении РФ, но в нем должен стоять штамп о гражданстве, либо по заграну.

Только имейте ввиду, что если нет заграна и въезжает по свидетельству, то должен РК покинуть до исполнения 14 лет.